Semaines de l’évaluation de l’enseignement
MTH2120 Analyse appliquée
Résumé de section
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MTH2120 Analyse appliquée
*** Automne 2024 ***
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Fonctions élémentaires: Polynômes, fonctions rationnelles, séries de puissances entières, rayon de convergence, fonction exponentielle, formule d'Euler.
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Fonctions élémentaires: Fonctions trigonométriques et hyperboliques, forme polaire d'un nb. complexe, logarithme naturel.
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Fonctions élémentaires: Propriétés du logarithme naturel, loi de puissance, racine carrée.
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Interprétation géométrique des conditions de Cauchy-Riemann. Transformations conformes.
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Transformations complexes. Fonctions harmoniques. Géométrie des courbes de niveau de u et v.
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Intégrale curviligne complexe: exemple, propriétés, biographie Augustin Cauchy, rappels (formule de Green, sens de parcours direct), théorème de Cauchy.
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Conséquences du théorème de Cauchy: indépendance du chemin suivi (TH1), existence d'une primitive analytique (TH2), intégrale d'une fonction analytique (TH3), exemples.
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Théorème de Liouville. Théorème fondamental de l'algèbre. Racines d'un polynôme à coefficients réels. Formule de Taylor, rayon de convergence.
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Exemples de calcul de la série de Laurent. Singularités: pôles, singularités essentielles.
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Singularités apparentes. Singularités isolées. Calcul des résidus. Théorème des résidus.
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Calcul d'intégrales complexes avec le théorème des résidus: suite des exemples.
Évaluation d'intégrales réelles: intégrales trigonométriques, exemples.
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Intégrales spéciales: l'intégrale de Dirichlet.
Systèmes linéaires stationnaires en temps discret: définition, exemples.
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Systèmes linéaires stationnaires (SLS) en temps discret:
- exemple du système à rétro-action.
- SLS définis par des équations aux différences.
- Réponse d'un SLS à une entrée quelconque: réponse impulsionnelle, produit de convolution.
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Suite des systèmes linéaires stationnaires (SLS):
- Produit de convolution discret: définition, propriétés, exemple de calcul.
- Exemples de réponses impulsionnelles pour des SLS simples.
- Causalité et stabilité d'un SLS, exemple.
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Transformée en z (Tz):
- Introduction et objectifs.
- Passage de la transformée de Laplace à la transformée en z.
- Définition et exemples.
- Définition du produit de convolution pour les suites x[n] avec n ≥ 0.
- Propriétés de la Tz.
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Suite de la transformée en z (Tz):
- Fonction de transfert.
- Transformée en z inverse.
- Applications de la Tz aux équations aux différences (ED): suite de fibonacci.
- Applications de la Tz aux SLS: système à rétroaction.
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Deux exemples d'application de la transformée en z (Tz):
- Équations aux différences: évaluer 1+2+3+...+n.
- SLS: trouver y[n] si y[n+2] - 3 y[n+1] + 2 y[n] = x[n+1] - x[n] avec x[n] = 2^n u[n].
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Delta de Dirac: Bio de Paul Adrien Dirac; définition du delta de Dirac; approximation du delta de Dirac, exemples; propriétés du delta de Dirac, exemples.
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S.L.S. en temps continu:
- Définition, exemples.
- Relation entrée-sortie: réponse impulsionnelle, produit de convolution (P.C.).
- Propriétés du P.C., causalité.
- Exemple de calcul d'un P.C. -
- Calcul de la réponse impulsionnelle: exemples.
- Fonctions propres des SLS en temps continu.
Transformée de Laplace: introduction, définition, existence. -
Transformée de Laplace (TL): suite.
- Propriétés de la TL: révision.
- TL du delta de Dirac.
- Exemple: résolution d'une équation différentielle avec la TL.
- Réponse d'un SLS causal pour les signaux définis pour t ≥ 0.
- Théorème de convolution pour la TL, fonction de transfert.
- Exemple: SLS définis par des équations différentielles. -
Exemples de résolution de SLS avec la TL:
- Oscillations forcées du système masse-ressort.
- Le circuit LC.
- Le circuit RC. -
Séries de Fourier (SF): introduction, SF complexes, coefficients de Fourier en version complexe, convergence des SF, identité de Parseval en version réelle.
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Identité de Parseval en version complexe. Produit scalaire, orthogonalité des cisoïdes et identité de Parseval. Exemple. Dérivation et intégration des SF, exemples. Application des SF: le circuit RLC avec voltage périodique appliqué.
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Application des SF: la poutre simplement supportée avec une fonction de charge décrite par une SF. Ça marche parce-que les sinusoïdes sont des fonctions propres de l'opérateur de dérivée quatrième.
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TF des gaussiennes. Propriétés de la TF: TF d'une dérivée, dérivée d'une transformée.
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Identité de Parseval, exemple. Réponse en fréquence, exemple. Théorème de convolution.
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Une application des SF et de la TF, le théorème d'échantillonnage: théorème et formule de reconstruction, exemple.
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