Bonsoir Lalla,
La méthode de Newton est un cas particulier de la méthode des points fixes avec g(x) = x - f(x) / f'(x).
On peut donc utiliser l'expression e_{n+1} = g'(r) * e_n + g''(r) (e_n)^2 / 2! + g'''(r) (e_n)^3 / 3! + ... des méthodes de points fixes
pour déterminer l'ordre de convergence de la méthode de Newton.
Si g'(r) est non nul alors la convergence est linéaire (on peut prouver que c'est lorsque r est une racine multiple de f).
Si g'(r) = 0 alors la convergence est quadratique.
Si g'(r) = g''(r) = 0 alors la convergence est cubique.
Si g'(r) = ... = g^{n-1}(r) = 0 alors la convergence est d'ordre n.
Avec la méthode de Newton g'(r) = f(r) f''(r) / (f'(r))^2 et comme on sait que f(r) = 0 , on voit directement pourquoi la convergence est linéaire ou au moins quadratique en fonction du fait que f'(r) soit nul ou pas.
Par contre g''(r) = f''(r) / f'(r) et il n'y a pas de raison particulière pour que ce terme soit nul. Même si on peut toujours construire un problème sur lequel on peut vérifier cette condition, on ne le rencontrera jamais en pratique.
On admet donc que l'ordre de la méthode de Newton se limite à 1 ou 2.