Taylor (partie 2) - Exemple 2

Taylor (partie 2) - Exemple 2

par Dina Khuon,
Nombre de réponses : 4

Bonjour, dans la présentation du développement de Taylor - Calcul de l'erreur, on y présente un exemple avec une série alternée. Ce que je comprends c'est qu'on a bn = 1/(2n+1)!, mais je n'ai pas vraiment compris l'explication pourquoi on obtient |R3(1)|<=1/5! comme borne de l'erreur.

Merci d'avance!

En réponse à Dina Khuon

Re: Taylor (partie 2) - Exemple 2

par Yann-Meing Law-Kam-Cio,
Bonjour,

Dans la question, il est demandé de considérer le polynôme de Taylor de degré 3 de sin(x) autour 0.
On a P_3(x) = x - x^3/6 et R_3(x) = f(x)-P_3(x) = x^5/120 + …

Puisqu'on vous demande une borne supérieure de l'erreur absolue associée à P_3(1), on a effectivement une série alternée avec b_n = 1/(2*n+1)!

En faisant référence au théorème sur les séries alternées présenté, on a s=f(1), s_1 = P_3(1) = 1-1/6 (ici, m=1) et s-s_1 = R_3(1). 
Après d'avoir vérifier les conditions du théorème, on peut donc conclure que |R_3(1)| <= 1/120. 

Est-ce que cela répond à votre question?

Bonne étude!
En réponse à Yann-Meing Law-Kam-Cio

Re: Taylor (partie 2) - Exemple 2

par Dina Khuon,
Est-ce que m=1 parce que qu'on évalue sin(1)?
En réponse à Dina Khuon

Re: Taylor (partie 2) - Exemple 2

par Yann-Meing Law-Kam-Cio,
Non.

En fait, m correspond à la dernière valeur de n dans la somme partielle s_m du théorème.

Dans l'exemple, P_3(1) = 1 - 1/6. On considère alors les deux premiers termes de la série sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n*1/(2*n+1)!. Donc, m = 1.

Est-ce que cela répond à votre question?

Bonne étude!