Bonjour, j'ai l'impression de ne pas avoir bien saisit comment trouver les points fixes des équations car je n'arrive pas à trouver les solutions des numéros 2.25 et 2.26. Merci
En réponse à Caroline Lavoie-Moore
Re: méthode des points fixes 2.25 et 2.26
Bonjour,
Voici les étapes principales :
1. Identifier g(x).
2. Soit un point fixe, x_p, de la fonction g. Résoudre x_p = g(x_p).
Par exemple, pour l'exercice 2.25,
1. g(x) = lambda*x*(1-x)
2. x_p = g(x_p) = lambda*x_p*(1-x_p) = lambda*x_p - lambda*x_p^2
0 = (lambda-1)*x_p - lambda*x_p^2
0 = x_p * ( lambda - 1 - lambda*x_p )
À cette étape, on sait que toutes solutions de x_p = g(x_p) sont aussi des solutions de 0 = x_p * ( lambda - 1 - lambda*x_p ) = f(x_p).
Voici les étapes principales :
1. Identifier g(x).
2. Soit un point fixe, x_p, de la fonction g. Résoudre x_p = g(x_p).
Par exemple, pour l'exercice 2.25,
1. g(x) = lambda*x*(1-x)
2. x_p = g(x_p) = lambda*x_p*(1-x_p) = lambda*x_p - lambda*x_p^2
0 = (lambda-1)*x_p - lambda*x_p^2
0 = x_p * ( lambda - 1 - lambda*x_p )
À cette étape, on sait que toutes solutions de x_p = g(x_p) sont aussi des solutions de 0 = x_p * ( lambda - 1 - lambda*x_p ) = f(x_p).
On résout donc f(r) = 0 et on trouve les racines de f : r_1 = 0 et r_2 = -(1 - lambda)/ lambda.
Il est important de préciser que nous n'avons pas montré que toutes solutions de f(r) = 0 sont aussi des solutions de g(r) = r. Alors, il se peut que ce ne soit pas deux problèmes équivalents.
Pour s'assurer que les racines sont des points fixes de g, on vérifie g(r) = r.
Je vous suggère aussi de consulter l'exemple 2.4 du livre (3e édition) : dans cet exemple, f(x) = x^2-2*x-3 a deux racines r_1 = 3 et r_2 = -1. Par contre, la fonction g_1(x) = sqrt(2*x + 3) a seulement r_1 pour point fixe.
Est-ce que cela répond à votre question?
Bonne étude!
Il est important de préciser que nous n'avons pas montré que toutes solutions de f(r) = 0 sont aussi des solutions de g(r) = r. Alors, il se peut que ce ne soit pas deux problèmes équivalents.
Pour s'assurer que les racines sont des points fixes de g, on vérifie g(r) = r.
Je vous suggère aussi de consulter l'exemple 2.4 du livre (3e édition) : dans cet exemple, f(x) = x^2-2*x-3 a deux racines r_1 = 3 et r_2 = -1. Par contre, la fonction g_1(x) = sqrt(2*x + 3) a seulement r_1 pour point fixe.
Est-ce que cela répond à votre question?
Bonne étude!