Je ne comprend pas pourquoi je n'arrive pas à la bonne réponse pour le b) et je voulais m'asssurer que ce n'était pas a cause de mon raisonnement dans le a)?
Bonjour,
Effectivement, il y a une erreur de raisonnement dans la sous-question a). Vous voulez trouver les valeurs de a et b de sorte que la quadrature intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à 1. Il est important de noter que vous ne pouvez pas utiliser les points et poids de la quadrature de Gauss puisque la formule d'intégration donnée dans l'exercice diffère de celle de Gauss. Voici les étapes principales:
1. Vous voulez intégrer exactement tout polynôme de la forme suivante : a_0 + a_1*x. Vous devez donc vous assurer d'intégrer exactement chacun des éléments d'une base de l'espace des polynômes de degré 1. Ici, on choisit la base canonique. Pour ce faire,
1.1 Posons f(x) = 1 :
on a l'intégrale exacte I = int_0^(3*h) f(x) dx = int_0^(3*h) 1 dx = 3*h et l'approximation obtenue par la quadrature I_h = a*f( h) + b*f(2*h) = a*1+b*1.
Puisqu'on veut intégrer tout polynôme de degré 0 exactement, on pose I = I_h et on obtient la première équation 3*h = a + b.
1.2 On refait le même raisonnement avec f(x) = x pour obtenir la deuxième équation.
Au final, on trouve un système de 2 équations à 2 inconnues.
2. On trouve la solution du système obtenu en utilisant les outils que vous avez vu en algèbre linéaire.
Il est important de noter qu'on peut seulement garantir que la formule d'intégration numérique soit au moins de degré de précision de 1. Dans le cas où on veut montrer qu'elle est de degré de précision 1, il faut vérifier que I soit différent de I_h en posant f(x) = x^2.
Effectivement, il y a une erreur de raisonnement dans la sous-question a). Vous voulez trouver les valeurs de a et b de sorte que la quadrature intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à 1. Il est important de noter que vous ne pouvez pas utiliser les points et poids de la quadrature de Gauss puisque la formule d'intégration donnée dans l'exercice diffère de celle de Gauss. Voici les étapes principales:
1. Vous voulez intégrer exactement tout polynôme de la forme suivante : a_0 + a_1*x. Vous devez donc vous assurer d'intégrer exactement chacun des éléments d'une base de l'espace des polynômes de degré 1. Ici, on choisit la base canonique. Pour ce faire,
1.1 Posons f(x) = 1 :
on a l'intégrale exacte I = int_0^(3*h) f(x) dx = int_0^(3*h) 1 dx = 3*h et l'approximation obtenue par la quadrature I_h = a*f( h) + b*f(2*h) = a*1+b*1.
Puisqu'on veut intégrer tout polynôme de degré 0 exactement, on pose I = I_h et on obtient la première équation 3*h = a + b.
1.2 On refait le même raisonnement avec f(x) = x pour obtenir la deuxième équation.
Au final, on trouve un système de 2 équations à 2 inconnues.
2. On trouve la solution du système obtenu en utilisant les outils que vous avez vu en algèbre linéaire.
Il est important de noter qu'on peut seulement garantir que la formule d'intégration numérique soit au moins de degré de précision de 1. Dans le cas où on veut montrer qu'elle est de degré de précision 1, il faut vérifier que I soit différent de I_h en posant f(x) = x^2.
Il est aussi important de préciser qu'on n'obtiendra pas toujours un système linéaire.
Est-ce que cela répond à votre question?
Bonne étude!
Est-ce que cela répond à votre question?
Bonne étude!
Oui, merci