MTH2210A: Différence entre ordre et degré

Bonjour,

Je suis un peu confuse entre l'ordre et le degré du polynôme de Taylor. Dans le manuel cela dit que l'ordre est le degré du premier terme non-nul du terme d'erreur. De plus, il est écrit que le polynôme de Taylor de degré n généralement l'ordre de l'approximation est de (n+1). Le degré correspond au nombre de dérivé f(x)?

Dans l'exemple 1.51 du manuel, voir photo en dessous, il demande de calculer le développement de Taylor ordre 5 de sin x autour x0=0. Dans la réponse cela dit qu'il faut calculer la fonction de Taylor de degré 3 pour obtenir approximation d'ordre 5. Le premier terme non-nul est f'(x) qui est de degré 1 donc l'ordre serait 1? mais l'ordre est supposé être 5.

Pouvez-vous m'expliquer comment ont fait pour trouver l'ordre de 5 de la fonction?

Re: Différence entre ordre et degré

par Alexis Montoison, lundi 21 septembre 2020, 10:20

Le degré correspond au degré du plus grand monôme de Pn( h ).
Par exemple si on prend f(x) = 1 / (1 - x^2), on a f(x0+h) = 1 + h^2 + h^4 + h^6 + .... si l'on prend son développement limité en x0=0.
Au tel 1 + h^2 + h^4 est une approximation d'ordre 6 de f(x0+h) et le degré de cette approximation est 4.

Re: Différence entre ordre et degré

par Alexis Montoison, lundi 21 septembre 2020, 10:42

Les dérivées de f(x) permettent de déterminer les coefficients devant chacun des monômes du développement de Taylor (Définition 1.41 du manuel à la page 30)
Dans le cas où x0=0, les coefficients devant chaque monôme sont f^n(0) / n! (où f^n représente la dérivée n de f).
Par conséquent sin(x0 + h) = 0 + 1 * h + 0 * h^2 / 2! - 1 * h^3 / 3! + 0 * h^4 / 4! + 1 * h^5 / 5! + ...
Si tu veux une développement de Taylor d'ordre 5 alors il s'agit de h - h^3 / 3! et le terme d'erreur est h^5 / 5! + .... avec ... tout les termes suivants.
À l'aide du théorème 1.43 (toujours à la page 30) tu peux voir que le reste h^5 / 5! + .... = cos(E( h )) * h^5 / 5! avec E( h ) un nombre entre x0 et h.