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Dérivée en chaine pour l'ordre 2

Dérivée en chaine pour l'ordre 2

par Bruno Blais,
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Bonjour,


Plusieurs d'entre vous m'ont posé des questions concernant l'application des dérivées en chaîne d'ordre deux, et j'ai peur de vous avoir donné une réponse un tantinet incomplète, quoique valide pour le problème actuel.

L'application des dérivées en chaîne aux ordres supérieurs n'est pas du tout triviale, mais elle l'est dans le problème qui vous est donné dans le devoir. Cependant, je ne voudrais pas que vous confondiez le cas présent, très simple, avec le cas général. Ce serait un manque de rigueur.

De manière général, la dérivée en chaîne se générale aux ordre supérieurs à travers la formule de Faà di Bruno (c'est italien, c'est pour ça qu'on retrouve mon prénom dans la formule, mais je vous jure que c'est qu'un hasard).

Je vous réfère à l'article Wiki sur le sujet, qui est assez formel, mais des plus intéressant. Une belle lecture du dimanche soir et/ou de chevet.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_di_Bruno%27s_formula

Sinon, si vous descendez sur l'article des dérivées en chaîne, il y a un bel exemple qui ressemble exactement au problème que vous étudiez. Vous verrez qu'un des termes s'annule évidemment et qu'on retombe sur la forme triviale que vous utilisez. Néanmoins, je veux juste attirer votre attention sur le fait que c'est un cas "d'exception" et ce n'est pas valide pour tout changement de variable.

Voir l'article à la section higher derivative:

http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule

Sur ce, bon courage pour la suite du devoir. Certaines équipe que j'ai vu la semaine passé semblaient particulièrement bien avancées. N'hésitez pas à faire usage du forum pour poser vos questions.

BB