J'ai essayé de faire l'exercice 67 du recueil.
J'ai appliqué la formule 5.26 du manuel mais je parviens pas à trouver la valeur exacte de S (formule 5.25). Pouvez-vous m'indiquer comment peut-on la trouver ?
Merci beaucoup
Bonjour,
Oui, en effet, la valeur exacte de s n'est pas plus connue que la valeur de x.
Par la relation 5.25 on comprend que ces deux valeurs sont équivalentes; s est seulement une réécriture de x pour simplifier l'expression 5.26 (un changement de variable).
La formule 5.26 donne une expression exacte de l'erreur. Les deux questions qu'on doit se poser sont:
1. Est-ce que je peux évaluer cette expression de manière exacte?
2. Est-ce que j'ai besoin d'évaluer l'expression de manière exacte?
La réponse à ces deux questions est non:
1. On ne peut pas l'évaluer exactement parce qu'on ne connait pas la valeur de Xi (lettre grecque, argument dans la dérivée n+1 de f);
2. On peut s'en sortir avec des bornes ou des évaluations approximatives: c'est surtout l'ordre de grandeur du résultat qui nous importe.
Donc, si on peut trouver une valeur approximative pour borner la valeur de la dérivée on aura une bonne partie du travail de fait. La question à laquelle on souhaite répondre est: quelle est la pire erreur qu'on puisse obtenir?
Pour ce qui est de la valeur de x (ou de s), on voit que si x est un point d'interpolation alors l'erreur est nulle. Il faut donc essayer d'évaluer l'expression avec une valeur de x qui nous donne la plus grande erreur possible.
Finalement, On a vu une autre façon rapide pour calculer une approximation de l'erreur avec les polynômes de Newton. On peut alors voir si les deux approches donnent la même estimation (ordre de grandeur surtout) et on aura une meilleure idée de ce qui se produit avec le comportement de l'erreur dans ce cas précis.
Bonne étude!
Oui, en effet, la valeur exacte de s n'est pas plus connue que la valeur de x.
Par la relation 5.25 on comprend que ces deux valeurs sont équivalentes; s est seulement une réécriture de x pour simplifier l'expression 5.26 (un changement de variable).
La formule 5.26 donne une expression exacte de l'erreur. Les deux questions qu'on doit se poser sont:
1. Est-ce que je peux évaluer cette expression de manière exacte?
2. Est-ce que j'ai besoin d'évaluer l'expression de manière exacte?
La réponse à ces deux questions est non:
1. On ne peut pas l'évaluer exactement parce qu'on ne connait pas la valeur de Xi (lettre grecque, argument dans la dérivée n+1 de f);
2. On peut s'en sortir avec des bornes ou des évaluations approximatives: c'est surtout l'ordre de grandeur du résultat qui nous importe.
Donc, si on peut trouver une valeur approximative pour borner la valeur de la dérivée on aura une bonne partie du travail de fait. La question à laquelle on souhaite répondre est: quelle est la pire erreur qu'on puisse obtenir?
Pour ce qui est de la valeur de x (ou de s), on voit que si x est un point d'interpolation alors l'erreur est nulle. Il faut donc essayer d'évaluer l'expression avec une valeur de x qui nous donne la plus grande erreur possible.
Finalement, On a vu une autre façon rapide pour calculer une approximation de l'erreur avec les polynômes de Newton. On peut alors voir si les deux approches donnent la même estimation (ordre de grandeur surtout) et on aura une meilleure idée de ce qui se produit avec le comportement de l'erreur dans ce cas précis.
Bonne étude!
Bonjour,
J'ai repris l'exercice. En effet, je n'ai pas de soucis pour évaluer une partie de la borne, la suivante :
abs(E_9 (x)) <= (1/9)^10 * (1/10factorials) * (10-1)factorials/(x^10) * s(s-1)...(s-9)
Le 1/9 est en fait la valeur de h puisqu'on à 10 points espacés de 9. La valeur de la 10ème dérivée (10-1)factorials/(x^10). Pour xmax=1, elle vaut 9factorials. Donc c'est correc
J'ai plus un problème avec la valeur 1/40, je n'arrive pas à la trouver ...
J'ai essayé de faire une analyse graphique pour cette équation là : s(s-1)...(s-9). Comme on sait que x<=2 on peut écrire que s <= 9 . Ainsi pour minimiser l'erreur on doit être proche de la valeur 9. Mais je bloque vraiment sur le 1/40, je ne comprends pas comment on l'obtient... je suis un peu mêlée
Bonjour,
Oui je comprends cette difficulté! En général l'idée est de trouver une borne qui nous indique environ l'ordre de grandeur de l'erreur qu'on risque de commettre avec notre approximation. Il faut toutefois pouvoir garantir que cette erreur ne sera pas trop grande.
Voici une façon de faire qui mène à la même borne (je ne sais pas qui a calculé la solution).
Bonjour,
Déjà merci pour votre réponse !
D'accord, je comprends l'idée de s'approcher le plus possible de l'ordre recherché
Je comprends bien le raisonnement de cette solution. Mais j'ai l'impression qu'il y a une coquille, car 8! ne donne pas 362880. On n'a donc pas une bonne approximation puisque l'ordre ne correspond plus. J'ai essayé de vérifier l'équidistance des points avec cette méthode. Les 10 points sont bien pris, il ne manque donc pas de termes .. étrange.
Bonne journée,
Merci encore !
Déjà merci pour votre réponse !
D'accord, je comprends l'idée de s'approcher le plus possible de l'ordre recherché
Je comprends bien le raisonnement de cette solution. Mais j'ai l'impression qu'il y a une coquille, car 8! ne donne pas 362880. On n'a donc pas une bonne approximation puisque l'ordre ne correspond plus. J'ai essayé de vérifier l'équidistance des points avec cette méthode. Les 10 points sont bien pris, il ne manque donc pas de termes .. étrange.
Bonne journée,
Merci encore !
Bonjour,
Ah je vois le problème. En fait c'est que 9! = 362880 et j'ai utilisé 8! à la place en l'identifiant faussement à 362880.
Cette différence vient du fait que que j'ai pris x=10/9 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9.
On récupère la solution avec 9! = 362880 en prenant plutôt x=9/9=1 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9. Cette valeur de x est plus prudente et donne une borne d'erreur plus grande (d'un facteur 9 exactement). J'admets qu'il est préférable d'être du côté de la prudence et d'utiliser x=9/9 au lieu de x=10/9 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9. C'est ce que j'aurais dû faire (et il faut comprendre pourquoi ;) ).
Ça nous aura donné l'occasion de discuter de l'approche.
Bonne étude!
Ah je vois le problème. En fait c'est que 9! = 362880 et j'ai utilisé 8! à la place en l'identifiant faussement à 362880.
Cette différence vient du fait que que j'ai pris x=10/9 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9.
On récupère la solution avec 9! = 362880 en prenant plutôt x=9/9=1 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9. Cette valeur de x est plus prudente et donne une borne d'erreur plus grande (d'un facteur 9 exactement). J'admets qu'il est préférable d'être du côté de la prudence et d'utiliser x=9/9 au lieu de x=10/9 pour calculer les (x-xi) pour i=2,3,...,9. C'est ce que j'aurais dû faire (et il faut comprendre pourquoi ;) ).
Ça nous aura donné l'occasion de discuter de l'approche.
Bonne étude!
D'accord,
Merci beaucoup, je pense avoir compris !
Bonne journée