MTH1115: 3.7 méthode de variation des paramètres

Bonjour,

J'ai de la difficultée avec la méthode de variation des paramètres des exercices 3.7. Par exemple le 13. On a

$t^2 y''-2y=3t^2-1,y_1(t)=t^2,y_2(t)=t^{-1},t>0$

J'utilise la méthode compact :

$Y(t)=-t^2\int_{t_0}^{t}\frac{s^{-1}(3s^2-1)}{-3}ds+t^{-1}\int_{t_0}^{t}\frac{s^2(3s^2-1)}{-3}ds$

$Y(t)=\frac{t^2}{3}\int_{t_0}^{t}3s-s^{-1}ds-\frac{t^{-1}}{3}\int_{t_0}^{t}3s^4-s^2ds$

$Y(t)=\frac{t^2}{3}\left[\frac{3s^2}{2}-ln\left|s\right|\right]_{t_0}^t-\frac{t^{-1}}{3}\left[\frac{3s^5}{5}-\frac{s^3}{3}\right]_{t_0}^t$

$Y(t)=\frac{t^2}{3}\left[\frac{3t^2}{2}-ln(t)-\frac{3(t_0)^2}{2}+ln(t_0)\right]-\frac{t^{-1}}{3}\left[\frac{3t^5}{5}-\frac{t^3}{3}-\frac{3(t_0)^5}{5}+\frac{(t_0)^3}{3}\right]$

Je choisi t0 = 1:

$Y(t)=\frac{t^2}{3}\left[\frac{3t^2}{2}-ln(t)-\frac{3}{2}+0\right]-\frac{t^{-1}}{3}\left[\frac{3t^5}{5}-\frac{t^3}{3}-\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\right]$

$Y(t)=\frac{t^4}{2}-\frac{t^2}{3}ln(t)-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{5}+\frac{t^2}{9}+\frac{4}{45t}$

$Y(t)=\frac{3t^4}{10}-\frac{t^2}{3}ln(t)-\frac{7t^2}{18}+\frac{4}{45t}$

Rendu à ce point je comprend que le dernier terme peut être exprimer à l'aide de la solution homogène y2(t), et l'avant-dernier terme avec y1(t), mais je ne comprend pas quelle(s) erreurs j'ai pu commettre durant mes calculs pour arriver aux deux premiers termes qui ne sont pas la bonne réponse.

La bonne réponse est :

$Y(t)=\frac{1}{2}+t^2 ln(t)$

C'est beaucoup d'informations, j'en convient, mais j'apprécierai beaucoup avoir de l'aide avec ce sujet, car je n'ai pas eu bon à aucun des numéros du 3.7, alors j'assume faire une erreur crucial dans ma démarche.

Merci pour votre aide,

Frantz L.

Re: 3.7 méthode de variation des paramètres

by Kouakou Donatien N'Dri - Wednesday, 13 March 2024, 9:16 AM

Vous avez oublié de normaliser l'E.D.O.
Le membre de droite de l'E.D.O sous la forme normalisée est g(t) = (3t^2-1)/t^2 et non g(t) = 3t^2-1.

Re: 3.7 méthode de variation des paramètres

by Frantz Lessard - Wednesday, 13 March 2024, 12:48 PM

ahh je comprend, merci beaucoup!