MTH2120 Analyse appliquée
*** Automne 2020 ***
Fonctions élémentaires: Polynômes, fonctions rationnelles, séries de puissances entières, rayon de convergence, fonction exponentielle, formule d'Euler.
Fonctions élémentaires: Fonctions trigonométriques et hyperboliques, forme polaire d'un nb. complexe, logarithme naturel.
Fonctions élémentaires: Propriétés du logarithme naturel, loi de puissance, racine carrée.
Continuité. Fonctions analytiques.
Existence de la dérivée: conditions de Cauchy-Riemann.
Interprétation géométrique des conditions de Cauchy-Riemann. Transformations conformes.
Transformations complexes. Fonctions harmoniques. Géométrie des courbes de niveau de u et v.
Intégrale curviligne complexe: définition, paramétrisation, exemples.
Intégrale curviligne complexe: exemple, propriétés, biographie Augustin Cauchy, rappels (formule de Green, sens de parcours direct), théorème de Cauchy.
Conséquences du théorème de Cauchy: indépendance du chemin suivi (TH1), existence d'une primitive analytique (TH2), intégrale d'une fonction analytique (TH3), exemples.
Une application du théorème de Cauchy: l'intégrale de Fresnel.
Formule de Cauchy. Formule de Cauchy pour les dérivées. Exemples.
Théorème de Liouville. Théorème fondamental de l'algèbre. Racines d'un polynôme à coefficients réels. Formule de Taylor, rayon de convergence.
Séries de Laurent, exemples.
Exemples de calcul de la S\séries de Laurent. Singularités: pôles, singularités essentielles.
Singularités apparentes. Singularités isolées. Calcul des résidus. Théorème des résidus.
Calcul d'intégrales complexes avec le théorème des résidus.
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